Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und  $f\in K[X_1,\dots ,X_n]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom vom Untergrad $k$. Es sei  $\alpha (t)=at$  die Parametrisierung einer Geraden im $K^n$ durch den Nullpunkt.

Dann ist  $0\in K$  eine Nullstelle von $f\circ \alpha$, dessen Vielfachheit zumindest $k$ ist (was den Fall, dass $f\circ \alpha$ das Nullpolynom ist, mit einschließen mag). Wenn $K$ ein unendlicher Körper ist, so ist die Vielfachheit dieser Nullstelle außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des $K^n$ genau $k$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen