Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

das die Bedingungnen

1. ${}F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$

   für alle  ${}t\in I$, 

2. ${}F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$

   für alle  ${}t\in I$, 

3. ${}F(t_{0})=v\,$

erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass ${}F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors ${}N(\gamma (t))$ steht, also

${}\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.$

Daher ist auch

${}0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.$

Die zweite Bedingung, dass ${}F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet

${}F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$

für alle  ${}t\in I$,  was wir mithilfe der vorstehenden Gleichung zu

${}F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$

für alle  ${}t\in I$  bzw. zu

${}F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,$

für alle  ${}t\in I$  umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für ${}F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung  ${}F(t_{0})=v$  nach Fakt eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn ${}F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.

Zur bewiesenen Aussage