Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt unmittelbar aus der Beschreibung

   ${}\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$

   da die beiden Summanden linear in ${}v$ sind.

2. Dies folgt auch aus der Beschreibung

   ${}\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$

   da bei fixiertem Vektor ${}v$ die beiden Summanden gemäß Fakt linear von ${}F$ abhängen.

3. Nach Fakt ist

   ${}\left(D(gF)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(DF\right)_{P}+\left(Dg\right)_{P}\cdot F(P)\,.$

   Daher ist

   ${}{\begin{aligned}\nabla _{v}(gF)&={\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle {\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)(\nabla _{v}F)(P)+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}\cdot F(P),\end{aligned}}$

   da das Vektorfeld ${}F$ senkrecht auf ${}N$ steht.

Zur bewiesenen Aussage