Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei  $P\in Y$  ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist die Zuordnung

   $T_{P}Y⟶T_{P}Y,v⟼{\mathrm{\nabla }}_{v}F,$

   linear.

2. Zu einem fixierten Tangentialvektor  $v\in T_{P}Y$  ist die Zuordnung

   $F⟶{\mathrm{\nabla }}_{v}F,$

   die einem differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs $v$ zuordnet, linear.

3. Zu einer differenzierbaren Funktion $g:U\to ℝ$ und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld $F$ ist

   ${\mathrm{\nabla }}_v(gF)=g(P)({\mathrm{\nabla }}_{v}F)(P)+\left(D_{v}g\right)\left(P\right)F(P).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen