Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei ${}P\in Y$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem fixierten differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist die Zuordnung

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   linear.

2. Zu einem fixierten Tangentialvektor ${}v\in T_{P}Y$ ist die Zuordnung

   $F\longrightarrow \nabla _{v}F,$

   die einem differenzierbaren Vektorfeld die kovariante Ableitung längs ${}v$ zuordnet, linear.

3. Zu einer differenzierbaren Funktion ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und einem differenzierbaren tangentialen Vektorfeld ${}F$ ist

   ${}\nabla _{v}(gF)=g(P)(\nabla _{v}F)(P)+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}F(P)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen