Hyperfläche/Weingartenabbildung/Zweite Ableitung/Skalarprodukt/Fakt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}N$ ein Einheitsnormalenfeld und es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}\gamma$ eine zweifach differenzierbare Realisierung auf ${}Y$ eines Tangentenvektors ${}v\in T_{P}Y$.

Dann ist

${}\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),v\right\rangle \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen