Identität/Repräsentierbarkeitseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Wenn eine Gleichheit

   ${}m=n\,$

   von natürlichen Zahlen vorliegt, so wird diese eine Zahl durch den einen Term ${}1+\cdots +1$ in ${}L^{\rm {Ar}}$ dargestellt. Wegen Axiom gilt

   $\Gamma \vdash n=n.$

   Wenn hingegen ${}m$ und ${}n$ verschiedene natürliche Zahlen sind, so ist die Gleichheit ${}m=n$ nicht aus ${}\Gamma$ ableitbar, da andernfalls wegen ${}\Gamma \subseteq \mathbb {N} ^{\vDash }$ die Gleichheit auch in ${}\mathbb {N}$ gelten würde.

2. Seien

   ${}m\neq n\,$

   verschiedene natürliche Zahlen. Wir behaupten

   $\Gamma \not \vdash m\neq n.$

   Wäre das nämlich doch ableitbar, so müsste diese Ungleichheit in jedem Modell von ${}\Gamma$ gelten. Die Gültigkeit von ${}\Gamma$ in einem Modell bedeutet aber lediglich, dass ein kommutatives Monoid vorliegt. Da es auch das triviale Monoid ${}\{0\}$ gibt, in dem alle Elemente gleich sind, erhalten wir einen Widerspruch.

3. Bei gleichen Zahlen folgt die Ableitbarkeit nach Teil (1) sogar aus ${}\Gamma$, also erst recht aus der Peano-Arithmetik. Es seien also

   ${}m\neq n\,$

   verschiedene natürliche Zahlen. Es ist

   ${\rm {PA}}\vdash \neg (m=n)$

   zu zeigen. Wegen der (ableitbaren) Symmetrie des Gleichheitszeichens können wir

   ${}m>n\,$

   annehmen. Es sei

   ${}m=k+n\,$

   mit ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Axiom  (1) ist

   ${\rm {PA}}\vdash \neg (k=0).$

   Die Kontraposition zu Axiom  (2) liefert der Reihe nach

   ${\rm {PA}}\vdash \neg (k+1=1),$

   ${\rm {PA}}\vdash \neg (k+2=2),\ldots$

   bis man schließlich bei

   ${\rm {PA}}\vdash \neg (k+n=n)$

   anlangt.

4. Die folgt aus Teil (5).
5. Das gilt, es ist

   $\Gamma \vdash n=y\wedge n=z\rightarrow y=z$

   für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Dies ergibt sich aber einfach aus der (ableitbaren) Symmetrie und der Transitivität des Gleichheitszeichens.

Zur gelösten Aufgabe