Identität/Repräsentierbarkeitseigenschaften/Aufgabe/Lösung

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  1. Wenn eine Gleichheit

    von natürlichen Zahlen vorliegt, so wird diese eine Zahl durch den einen Term in dargestellt. Wegen Axiom gilt

    Wenn hingegen und verschiedene natürliche Zahlen sind, so ist die Gleichheit nicht aus ableitbar, da andernfalls wegen die Gleichheit auch in gelten würde.

  2. Seien

    verschiedene natürliche Zahlen. Wir behaupten

    Wäre das nämlich doch ableitbar, so müsste diese Ungleichheit in jedem Modell von gelten. Die Gültigkeit von in einem Modell bedeutet aber lediglich, dass ein kommutatives Monoid vorliegt. Da es auch das triviale Monoid gibt, in dem alle Elemente gleich sind, erhalten wir einen Widerspruch.

  3. Bei gleichen Zahlen folgt die Ableitbarkeit nach Teil (1) sogar aus , also erst recht aus der Peano-Arithmetik. Seien also

    verschiedene natürliche Zahlen. Es ist

    zu zeigen. Wegen der (ableitbaren) Symmetrie des Gleichheitszeichens können wir

    annehmen. Es sei

    mit . Nach Axiom  (1) ist

    Die Kontraposition zu Axiom  (2) liefert der Reihe nach

    bis man schließlich bei

    anlangt.

  4. Die folgt aus Teil (5).
  5. Das gilt, es ist

    für jedes zu zeigen. Dies ergibt sich aber einfach aus der (ableitbaren) Symmetrie und der Transitivität des Gleichheitszeichens.

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