Impliziter Einheitskreis/Krümmung/Aufgabe/Lösung

Das Gradientenfeld zu ${}h$ ist ${}{\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}$, ein Einheitsnormalenfeld ist somit

${}N{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Das totale Differential von ${}N$ in einem Punkt

${}P={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

ist

${}\left(DN\right)_{P}={\begin{pmatrix}{\frac {y^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}&-{\frac {xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}\\-{\frac {xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}&{\frac {x^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}\,.$

Angewendet auf den tangentialen Vektor ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}$ ergibt sich

${}{\begin{aligned}\left(DN\right)_{P}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}y^{2}&-xy\\-xy&x^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}y{\left(y^{2}+x^{2}\right)}\\-x{\left(y^{2}+x^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Daher ist die Krümmung der Kurve in ${}P$ nach Fakt gleich ${}-1$.

(Dies passt, da ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}$ und das Gradientenfeld die Standardorientierung repräsentieren und ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}$ die Tangentialrichtung für die Bewegung mit dem Uhrzeigersinn ist.)

Zur gelösten Aufgabe