Ebene differenzierbare Kurve/Faser/Krümmung/Fakt

Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$N\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U$ definiertes Einheitsnormalenfeld zu ${}Y$ und sei ${}P\in Y$.

Dann ist für jeden tangentialen Vektor ${}v\in T_{P}Y$

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}=-\kappa (P)v\,,$

wobei ${}\kappa (P)$ die Krümmung einer Bogenparametrisierung von ${}Y$ ist, die mit der durch ${}v,N(P)$ gegebenen Orientierung übereinstimmt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen