Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}s>0$ derart, dass

${}B\left(a,s\right)\subseteq B\left(P,r\right)\,$

ist. Die Funktion ${}{\frac {f(z)}{z-a}}$ ist dann auf ${}U\setminus \{a\}$ definiert und holomorph. Wir können daher Fakt anwenden und erhalten

${}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,,$

wobei ${}\delta _{s}$ der Kreisweg um ${}a$ mit Radius ${}s$ sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine ${}s$ gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen ${}s$ ist. Wir schreiben

${}\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz+\int _{\delta _{s}}{\frac {f(a)}{z-a}}dz\,.$

Der Differenzenquotient ${}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$ konvergiert für ${}s$ gegen ${}0$ gegen die Ableitung ${}f'(a)$. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von ${}a$ und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Fakt gegen ${}0$, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von ${}s$ wegen Beispiel gleich ${}2\pi {\mathrm {i} }f(a)$.

Zur bewiesenen Aussage