Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt/Beweis

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Beweis

Aufgrund der Differenzierbarkeit von nach gibt es zu jedem nach Fakt eine in stetige Funktion mit und mit

Wir setzen


Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen und in jedem Punkt stetig ist. Bei kann man

auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Sei also eine Folge, die gegen

konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass für alle ist, da ja ist. Es ist

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem ein mit

und somit ist der obige Ausdruck gleich

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen wird dies beliebig klein.

In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über integrieren und erhält ( ist in der Integration konstant)

Der Fehlerausdruck

ist stetig in , da stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist , so dass die Funktion linear approximierbar und damit differenzierbar ist.