Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$-Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$-Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, derart gibt, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

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