Integres Schema/Integritätsbereich/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge

${}V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq U\,.$

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ das Nilradikal von ${}R$. Wegen der Irreduzibilität von ${}V$, die aus der Irreduzibilität von ${}X$ folgt, ist nach Fakt das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Fakt eine lokale Eigenschaft ist, gilt ${}{\mathfrak {a}}=0$. Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist ${}R$ ein Integritätsbereich.

Zur bewiesenen Aussage