Integres Schema/Noethersch/Offene Teilmenge/Lokal faktoriell/Picardgruppe/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}U$ und es sei ${}P\in X\setminus U$ ein Punkt. Es sei ${}W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene affine Umgebung von ${}P$, wobei ${}P$ dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ entspreche. Nach Voraussetzung ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ faktoriell. Wir betrachten die (injektiven) Schemamorphismen

$\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow W\longrightarrow X.$

Die offene Menge ${}U$ hat mit ${}W$ und mit ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir ${}V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$, da der generische Punkt von ${}X$ dem Nullideal von ${}R_{\mathfrak {p}}$ entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf ${}V$ ist wegen Fakt trivial und rührt von einem ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul und auch von einem ${}R$-Modul ${}L$ her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modulisomorphismus

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow L_{\mathfrak {p}}.$

Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung ${}P\in D(f)=W'\subseteq W$ ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}U\cap W'$ gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.

Zur bewiesenen Aussage