Integres Schema/Noethersch/Offene Teilmenge/Lokal faktoriell/Picardgruppe/Fortsetzung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine invertierbare Garbe auf und es sei ein Punkt. Es sei eine offene affine Umgebung von , wobei dem Primideal entspreche. Nach Voraussetzung ist faktoriell. Wir betrachten die (injektiven) Schemamorphismen

Die offene Menge hat mit und mit einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir , da der generische Punkt von dem Nullideal von entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf ist wegen Fakt trivial und rührt von einem -Modul und auch von einem -Modul her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen -Modulisomorphismus

Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von auf gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.