Integritätsbereich/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper ${}K$ konstruieren kann, der ${}R$ enthält.

Wir betrachten auf

$M=R\times (R\setminus {\{0\}})$

die durch

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$

definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge ${}Q(R)$ Verknüpfungen derart, dass ${}Q(R)$ zu einem Körper wird und dass

$\varphi \colon R\longrightarrow Q(R),\,r\longmapsto [(r,1)],$

mit Addition und Multiplikation verträglich ist und ${}\varphi (1)=1$ gilt.

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