Integritätsbereich/Spektrum/Strukturgarbe direkt/Bemerkung

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ lässt sich die Strukturgarbe besonders einfach beschreiben, zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist einfach

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\,,$

wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper ${}Q(R)$ genommen wird, in dem sämtliche Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ Unterringe sind. Die Funktionen auf ${}U$ sind also einfach diejenigen rationalen Elemente aus ${}Q(R)$, die in allen Punkten aus ${}U$ definiert sind. Dabei gilt

${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}R_{\mathfrak {p}}=R\,$

nach Fakt. Entsprechend gilt ${}\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}R_{\mathfrak {p}}=R_{f}$. Wenn eine offene Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ vorliegt, so ist

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{i\in I}{\left(\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in D(f_{i})}R_{\mathfrak {p}}\right)}=\bigcap _{i\in I}R_{f_{i}}\,.$