Intervall/Affin-lineare Funktionen/Gleichgradig stetig/Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und sei

${}S={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} \right\}}\,$

die Menge aller affin-linearen Funktionen, aufgefasst als Funktionen auf dem Intervall. Dann ist ${}S$ nicht gleichgradig stetig, da die Beziehung zwischen einer Zielgenauigkeit ${}\epsilon >0$ und einer Aufwandsgenauigkeit ${}\delta >0$ wesentlich von der Steigung ${}c$ der affin-linearen Funktion abhängt. Wenn man hingegen Schranken ${}c_{0}<c_{1}$ fixiert und

${}T={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} ,\,c_{0}\leq c\leq c_{1}\right\}}\subseteq S\,$

betrachtet, so liegt gleichgradige Stetigkeit vor.