Intervallschachtelung/Eulersche Zahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

${(1-\frac{1}{n^2})}^n\ge 1-n\frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{n}.$

Dies schreiben wir als

$\frac{n-1}{n}\le {\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^n={(\frac{n+1}{n}\cdot \frac{n-1}{n})}^n={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n.$

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${\left(\frac{n}{n-1}\right)}^n$ (es sei $n\ge 2$) die Abschätzung

$a_{n-1}={\left(\frac{n}{n-1}\right)}^{n-1}\le {\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n=a_n.$

Zur gelösten Aufgabe