Invariantenring/Tangentialbündel/Abschluss/Beispiele/Textabschnitt

Beispiel

Zum Polynomring ${}A=K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ und einem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ wird der ${}k$ -te Veronese-Ring durch die Monome ${}X^{k},X^{k-1}Y,\ldots ,XY^{k-1},Y^{k}$ erzeugt. Bei ${}k=2$ handelt es sich um

K[X^{2},XY,Y^{2}]\cong K[U,V,W]/(UW-V^{2}).

Bei ${}k=3$ handelt es sich um

K[X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3}]\cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW-V^{2},VZ-W^{2}).

Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist ${}A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente ${}U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung ${}UW=V^{2}$ bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.

Der Modul der Kähler-Differentiale besitzt die Darstellung

R^{3}\longrightarrow R^{4}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\longrightarrow 0

mit der Matrix

{\begin{pmatrix}Z&W&0\\-W&-2V&Z\\-V&U&-2W\\U&0&V\end{pmatrix}},

die Spalten drücken Relationen zwischen den Erzeugern ${}dU,dV,dW,dZ$ (= ${}A,B,C,D$ ) aus. Die symmetrische Algebra besitzt die Beschreibung

R[A,B,C,D]/(ZA-WB-VC+UD,WA-2VB+UC,ZB-2WC+VD).

Diese ist aus Dimensionsgründen reduzibel.

Die natürliche Fortsetzung der Gruppenoperation auf ${}\Omega _{A{|}K}$ wird durch ${}E=dX\mapsto -dX,F=dY\mapsto DY$ gegeben und führt zur Invariantenversion des Tangentialbündels oben, nämlich zum zweiten Veronesring in vier Variablen

K[X,Y,E,F]^{G}.

Die natürliche Abbildung

Sym\Omega \longrightarrow \bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(Sym^{n}\Omega )^{**}\cong K[X,Y,E,F]^{G}

wird durch ${}A=dU=dX^{3}=3X^{2}dX=3X^{2}E$ , ${}B=dV=dX^{2}Y=2XYdX+X^{2}dY=2XYE+X^{2}F$ , ${}C=dW=dXY^{2}=Y^{2}dX+2XYdY=Y^{2}E+2XYF$ , ${}D=dZ=dY^{3}=3Y^{2}dY=3Y^{2}F$ gegeben.