Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

R = K [f_{1}, \dots, f_{n}] .

Nach Fakt ist $R^{G} \subseteq R$ eine ganze Erweiterung. Zu jedem $f_{i}$ gibt es daher eine Ganzheitsgleichung

f_{i}^{n_{i}} + a_{i, n_{i} - 1} f_{i}^{n_{i} - 1} + \dots + a_{i, 1} f_{i} + a_{i, 0} = 0

mit $a_{i, j} \in R^{G}$ . Wir betrachten die von den Koeffizienten $a_{i, j}$ erzeugte $K$ -Unteralgebra von $R^{G}$ , also

S := K [a_{i, j}, 1 \leq i \leq n, 0 \leq j < n_{i}] \subseteq R^{G} .

Dabei ist $S$ endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über $S$ formulierbar, d.h. nach Fakt, dass $R$ auch über $S$ ganz ist. Da $R$ über $K$ endlich erzeugt ist, ist $R$ insbesondere über $S$ endlich erzeugt, sodass $S \subseteq R$ nach Fakt sogar endlich ist. Da $S$ noethersch ist, muss nach Fakt auch die $S$ -Unteralgebra $R^{G} \subseteq R$ ein endlicher $S$ -Modul sein. Damit ist insgesamt $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$ -Algebra.

Zur bewiesenen Aussage