Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Matrix ist trigonalisierbar und besitzt eine jordansche Normalform. Wir zeigen, dass die einzelnen Jordanblöcke

trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss eine Einheitswurzel sein. Durch Multiplikation mit können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form

(mit ) vorliegt. Wenn dies keine -Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren , wobei ein Eigenvektor ist und auf abgebildet wird. Die -te Iteration der Matrix schickt dann auf und wegen Charakteristik ist dies nicht , im Widerspruch zur endlichen Ordnung.