Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Die Matrix ist trigonalisierbar und besitzt nach Fakt eine jordansche Normalform. Wir zeigen, dass die einzelnen Jordanblöcke

$\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \lambda & 1& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \lambda & 1\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& \lambda \end{array}\right)$

trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss $\lambda$ eine Einheitswurzel sein. Durch Multiplikation mit ${\lambda }^{-1}{E}_n$ können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form

$\left(\begin{array}{cccccc}1& a& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& a& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& a& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 1& a\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 1\end{array}\right)$

(mit $a\ne 0$) vorliegt. Wenn dies keine $1\times 1$-Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren $u,v$, wobei $u$ ein Eigenvektor ist und $v$ auf $v+au$ abgebildet wird. Die $k$-te Iteration der Matrix schickt dann $v$ auf $v+kau$ und dies ist nicht $v$, im Widerspruch zur endlichen Ordnung.

Zur bewiesenen Aussage