Invertierbare Matrix/Treppengestalt/Einheitsmatrix/Fakt/Beweis

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Beweis

Dies beruht auf den Manipulationen des Eliminationsverfahrens und darauf, dass elementare Zeilenumformungen nach Fakt durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen von links ausgedrückt werden können. Dabei können in einer Spalte bzw. in einer Zeile nicht nur Nullen entstehen, da die Elementarmatrizen invertierbar sind und so in jedem Schritt die Invertierbarkeit erhalten bleibt. Eine Matrix mit einer Nullspalte oder einer Nullzeile ist aber nicht invertierbar. Wenn eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, so sind die Diagonaleinträge nicht und man kann mit skalarer Multiplikation die Diagonaleinträge zu machen und damit die in jeder Spalte darüberliegenden Einträge zu .

Zur bewiesenen Aussage