Irreduzibel/Restriktionsabbildung nicht injektiv/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[X,Y]/(X^2,XY)$.  Es ist  $𝔮=(X)$  das einzige minimale Primideal von $R$ und daher ist $\mathrm{Spek}\left(R\right)$ irreduzibel. Wegen  $Y\notin 𝔮$  und  $XY=0$  gilt in der Lokalisierung $R_{𝔮}$ die Gleichheit  $X=0$,  und es ist

$R_{𝔮}=K[Y{]}_{(0)}=K(Y)$

ein Körper. Die Restriktionsabbildung $R\to R_{𝔮}$ ist nicht injektiv. Es ist

$D(X)=\mathrm{\varnothing },$

das Element $X$ ist aber in der Lokalisierung $R_{(X,Y)}$ nicht $0$.