Irreduzibel/Restriktionsabbildung nicht injektiv/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$. Es ist ${}{\mathfrak {q}}=(X)$ das einzige minimale Primideal von ${}R$ und daher ist ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ irreduzibel. Wegen ${}Y\notin {\mathfrak {q}}$ und ${}XY=0$ gilt in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {q}}$ die Gleichheit ${}X=0$, und es ist

${}R_{\mathfrak {q}}=K[Y]_{(0)}=K(Y)\,$

ein Körper. Die Restriktionsabbildung ${}R\rightarrow R_{\mathfrak {q}}$ ist nicht injektiv. Es ist

${}D(X)=\emptyset \,,$

das Element ${}X$ ist aber in der Lokalisierung ${}R_{(X,Y)}$ nicht ${}0$.