Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an ${}K$ besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert ${}\lambda$. Wir betrachten ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$. Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ebenfalls die Voraussetzung. Nach Fakt ist also ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ein Isomorphismus oder gleich ${}0$. Da es einen nichttrivialen Kern (nämlich den Eigenraum zu ${}\lambda$) besitzt, muss ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}=0$ sein, also ist ${}\varphi$ ein skalares Vielfaches der Identität.

Zur bewiesenen Aussage