Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beweisen den Zusatz durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke, woraus sich dann die Hauptaussage, die unabhängig von Belegungen ist, ergibt. Es sei ein Isomorphismus

fixiert. Nach Fakt respektiert der Isomorphismus die Interpretation aller Terme. Da die Situation symmetrisch ist, müssen wir lediglich zeigen, dass aus der Gültigkeit von die Gültigkeit von folgt. Für einen Ausdruck der Form

mit Termen bedeutet

einfach

Daher ist

und somit

Für ein -stelliges Relationssymbol und Terme bedeutet

dass auf zutrifft. Dann trifft aufgrund der Homomorphie von auch auf

zu. Also ist

Wir kommen zum Induktionsschluss. Bei , und folgt die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, wobei man bei der Negation und der Implikation verwendet, dass eine Äquivalenz bewiesen wird.

Für eine Existenzaussage bedeutet

dass es ein derart gibt, dass

gilt. Es sei

Nach der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf und die Interpretation , die zu in der gleichen Beziehung steht wie zu (d.h. die Variablenbelegungen sind durch miteinander verbunden) gilt

Dies impliziert