K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/2/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem

Wir ersetzen die dritte Gleichung durch -4I-7II+III und erhalten das äquivalente System

Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus der Dimensionsformel folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst und und erhalten ,

und .

Wenn wir und setzen, erhalten wir ,

und .

Eine Basis des Urbildes ist daher durch die beiden Vektoren und gegeben.
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