K^n/x 1...x n/Richtungsableitung/Beispiel

Wir betrachten die polynomiale Funktion

$f:{𝕂}^n⟶𝕂,(x_1,\dots ,x_n)⟼x_1\cdots x_n.$

Die Richtungsableitung in Richtung  $v=(v_1,\dots ,v_n)$  in einem beliebigen Punkt

$P=(x_1,\dots ,x_n)$

ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also

$\begin{array}{cc}\frac{(x_1+s{v}_1)\cdot (x_2+s{v}_2)\cdots (x_n+s{v}_n)-x_1\cdot x_2\cdots x_n}{s}& =\frac{x_1\cdot x_2\cdots x_n+s\left(\sum _{i=1}^n{v}_i\frac{x_1\cdots x_n}{x_i}\right)+s^{2}g(s,x_1,\dots ,x_n,v_1,\dots ,v_n)-x_1\cdot x_2\cdots x_n}{s}\\ & =\sum _{i=1}^n{v}_i\frac{x_1\cdots x_n}{x_i}+s\cdot g(s,x_1,\dots ,x_n,v_1,\dots ,v_n).\end{array}$

Dabei ist $g(s,x_1,\dots ,x_n,v_1,\dots ,v_n)$ eine polynomiale Funktion in $s$ (die $x_1,\dots ,x_n$ und die $v_1,\dots ,v_n$ sind fixierte Zahlen). Der Limes von $s\cdot g(s,x_1,\dots ,x_n,v_1,\dots ,v_n)$ geht für $s\to 0$ gegen $0$. Daher ist

$\left(D_{v}f\right)\left(P\right)=\sum _{i=1}^n{v}_i\frac{x_1\cdots x_n}{x_i}.$