Kähler-Differentiale/Gleichungen/Maximales Ideal/Extrinsischer Kotangentialraum/Bemerkung

In der Situation von Fakt kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu $𝔪_{P} / 𝔪_{P}^{2}$ stiften. Es sei

v = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) \in T_{P} V = kern (Jac (f_{1}, \dots, f_{m})_{P}) .

Dies definiert eine Abbildung

𝔪_{P} ⟶ K, g ⟼ (d g)_{P} (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = v_{1} \partial_{1} g (P) + \dots + v_{n} \partial_{n} g (P),

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion $g$ die Auswertung in $P$ ihrer Richtungsableitung in Richtung $v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal $(f_{1}, \dots, f_{m})$ auf $0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei $𝔪_{P}^{2}$ auf $0$ abgebildet und es ergibt sich eine $K$ -lineare Abbildung

𝔪_{P} / 𝔪_{P}^{2} ⟶ K .