Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die ${}R$-lineare Abbildung

$A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto da,$

kann man auf das Ideal ${}I\subseteq A$ einschränken. Durch Tensorieren mit ${}A/I$ erhält man unter Verwendung von Fakt  (2) die ${}A/I$-lineare Abbildung

$I/I^{2}\cong I\otimes _{A}A/I\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A/I.$

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der ${}B$-Modul ${}\Omega _{B{|}R}$ von den ${}db$, ${}b\in B$, erzeugt wird und diese von ${}da$, ${}a\in A$ herrühren. Ein Element ${}a\in I$ geht auf ${}da$ und damit auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$, da das Element ${}a$ in ${}B$ selbst ${}0$ wird.

Es sei nun

${}\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,$

ein Element, das in ${}\Omega _{B{|}R}$ auf ${}0$ abbildet. Wir können

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,$

mit ${}a_{i},c_{i}\in A$ schreiben. Da es auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$ abbildet, gilt in dem von den Symbolden ${}db$, ${}b\in B$, erzeugten freien ${}B$-Modul die Beziehung

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,$

wobei ${}h_{j}\in B$ und die ${}\omega _{j}$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich ${}dfg=fdg+gdf$ mit ${}f,g\in B$ oder gleich ${}d(rf+sg)=rdf+sdg$ mit ${}r,s\in R$ und ${}f,g\in B$ ist. Der angesprochene freie ${}B$-Modul entsteht aus dem durch die ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten freien ${}A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus ${}I$ und die ${}dI$ zu ${}0$ macht. Somit gilt in diesem freien ${}A$-Modul

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,$

mit ${}m_{k}\in I$, ${}n_{k}\in B$ und ${}u\in I$. In ${}\Omega _{A{|}R}\otimes _{R}B$ wird ${}\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}$ wegen der Tensorierung zu ${}0$ und daher gilt dort in der Tat

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.$

Zur bewiesenen Aussage