Die
-lineare Abbildung
-
kann man auf das Ideal
einschränken. Durch Tensorieren mit
erhält man unter Verwendung von
Fakt (2)
die
-lineare Abbildung
-
Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der
-Modul
von den
,
,
erzeugt
wird und diese von
,
herrühren. Ein Element
geht auf
und damit auf
in
, da das Element
in
selbst
wird.
Es sei nun
-
![{\displaystyle {}\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d4916fcc02441a28e9c81825d1a7e765a9ac33)
ein Element, das in
auf
abbildet. Wir können
-
![{\displaystyle {}\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4140113f155ab19d3691b53168ef22e4738dee)
mit
schreiben. Da es auf
in
abbildet, gilt in dem von den Symbolden
,
,
erzeugten
freien
-Modul
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0122e2dc09233f16e543f55cfcb4c342cdd2d17)
wobei
und die
Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich
mit
oder gleich
mit
und
ist. Der angesprochene freie
-Modul entsteht aus dem durch die
,
,
erzeugten freien
-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus
und die
zu
macht. Somit gilt in diesem freien
-Modul
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f960866eb8407eeba3141677fba527827c92b73)
mit
,
und
.
In
wird
wegen der Tensorierung zu
und daher gilt dort in der Tat
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6b06f6cd333afc231fdadd70328daf79bc7cfb)