Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Die -lineare Abbildung

kann man auf das Ideal einschränken. Durch Tensorieren mit erhält man unter Verwendung von Fakt  (2) die -lineare Abbildung

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der -Modul von den , , erzeugt wird und diese von , herrühren. Ein Element geht auf und damit auf in , da das Element in selbst wird.

Es sei nun

ein Element, das in auf abbildet. Wir können

mit schreiben. Da es auf in abbildet, gilt in dem von den Symbolden , , erzeugten freien -Modul die Beziehung

wobei und die Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich mit oder gleich mit und ist. Der angesprochene freie -Modul entsteht aus dem durch die , , erzeugten freien -Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus und die zu macht. Somit gilt in diesem freien -Modul

mit , und . In wird wegen der Tensorierung zu und daher gilt dort in der Tat