Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.
2. Ein Element ${}z\in K$ heißt ${}n$-te Einheitswurzel, wenn ${}z^{n}=1$ ist.
3. Das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

   $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

   wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

4. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller ${}K$-Algebra-Automorphismen von ${}L$, also

   $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$

5. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn

   ${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$

   gilt.

6. Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

   $X^{n}-1$

   über ${}\mathbb {Q}$.

Zur gelösten Aufgabe