Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man die ${}K$-(Vektorraum-)Dimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.
2. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit ${}P(z)=0$.
3. Die Elemente ${}x,y\in L$ heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.
4. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller ${}K$-Algebra-Automorphismen von ${}L$, also

   $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$

5. Eine Gruppe ${}G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

   $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G$

   gibt derart, dass ${}G_{i}$ ein Normalteiler in ${}G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe ${}G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).

6. Man sagt, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

   ${}e^{2\pi i/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$

   eine konstruierbare Zahl ist.

Zur gelösten Aufgabe