Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Für jede ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta \neq 1$ gilt

   ${}\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$

2. Es sei ${}L$ ein Körper und sei ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Es sei ${}K=\operatorname {Fix} \,(H)$. Dann ist

   ${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(H\right)}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Grundkörper und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit endlichen Transzendenzbasen ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ und ${}g_{1},\ldots ,g_{n}$. Dann gibt es zu jedem Element ${}f_{i}$ der ersten Transzendenzbasis ein Element ${}g_{j}$ der zweiten Transzendenzbasis derart, dass ${}f_{1},\ldots ,f_{i-1},g_{j},f_{i+1},\ldots ,f_{m}$ ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.

Zur gelösten Aufgabe