Körper/Algebraisch unabhängig/Isomorphie zu Funktionenkörper/Fakt

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ sind algebraisch unabhängig.
2. Der Einsetzungshomomorphismus induziert eine ${}K$-Algebraisomorphie

   $K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(f_{1},\ldots ,f_{n}),\,X_{i}\longmapsto f_{i},$

3. Es gibt eine ${}K$-Algebraisomorphie

   $K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(f_{1},\ldots ,f_{n}).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen