Körper/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine kompakte Teilmenge, die durch folgende Daten beschrieben werde: Ein reelles Intervall ${}I=[a,b]$ , zwei stetige Funktionen

g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

mit ${}g(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in [a,b]$ und zwei stetige Funktionen

p,q\colon {\left\{(x,y)\mid x\in I,\,g(x)\leq y\leq h(x)\right\}}\longrightarrow \mathbb {R}

mit

{}p(x,y)\leq q(x,y)

derart, dass

T={\left\{(x,y,z)\mid x\in I,\,g(x)\leq y\leq h(x),\,p(x,y)\leq z\leq q(x,y)\right\}}\,

ist. Es sei

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann ist

${}\int _{T}fd\lambda ^{3}=\int _{a}^{b}{\left(\int _{g(x)}^{h(x)}{\left(\int _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)dz\right)}dy\right)}dx\,.$