Körper/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt

Es sei  $T\subseteq {ℝ}^3$  eine kompakte Teilmenge, die durch folgende Daten beschrieben werde: Ein reelles Intervall  $I=[a,b]$,  zwei stetige Funktionen

$g,h:I⟶ℝ$

mit  $g(x)\le h(x)$  für alle  $x\in [a,b]$  und zwei stetige Funktionen

$p,q:\{(x,y)\mid x\in I,g(x)\le y\le h(x)\}⟶ℝ$

mit $p(x,y)\le q(x,y)$ derart, dass

$T=\{(x,y,z)\mid x\in I,g(x)\le y\le h(x),p(x,y)\le z\le q(x,y)\}$

ist. Es sei

$f:T⟶ℝ$

eine stetige Funktion.

Dann ist

${\int }_{T}fd{\lambda }^3={\int }_a^b\left({\int }_{g(x)}^{h(x)}({\int }_{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)dz)dy\right)dx.$

Einen Beweis erstellen