Körper/Nullstellen auf Polynomkoeffizienten/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

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  1. Bei handelt es sich wegen

    um die Abbildung

  2. Bei handelt es sich wegen

    um die Abbildung

  3. Sei und zwischen und fixiert. Dann ist der Koeffizient des Polynoms aufgrund des Distributivgesetzes gleich

    wobei das Vorzeichen von der Parität von abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine polynomiale Abbildung vor.

  4. Ein Tupel gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel , wenn

    ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die Nullstellen von sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.

  5. Die Faser zu einem Koeffiziententupel ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
  6. Die maximale Anzahl in einer Faser ist . Die Faser besteht aus den (geordneten) Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt (andernfalls ist die Faser leer). Da es maximal Nullstellen gibt, kann man höchstens geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau geordnete Tupel bilden. Beispielsweise wird das Nullstellentupel auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
  7. Wenn algebraisch abgeschlossen ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von .