Körper/Nullstellen auf Polynomkoeffizienten/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),$

die einem Nullstellentupel ${}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die ${}1$) des normierten Polynoms

${}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

zuordnet.

1. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=2$.
2. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=3$.
3. Begründe, dass die ${}\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${}\varphi$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für ${}K=\mathbb {R}$ erreicht wird.
7. Es sei ${}K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

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