Körper/Potenzgesetze/Einheitengruppe/Direkt/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für ${}m,n\in \mathbb {Z}$.

1. Es ist

   ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a\,.$

2. Es ist ${}a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^{n}$ das inverse Element zu ${}a^{n}$.

3. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

4. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

5. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen