Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine Transzendenzbasis von ${}M$ über ${}L$. Nach Aufgabe ist ${}x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}$ algebraisch unabhängig über ${}K$. Nach Voraussetzung ist  ${}K(x_{1},\ldots ,x_{n})\subseteq L$  algebraisch. Daher ist auch

${}K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq L(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$

algebraisch. Da auch  ${}L(y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$  algebraisch ist, folgt mit Aufgabe, dass  ${}K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$  algebraisch ist.

Zur bewiesenen Aussage