Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist ${}M=K[f]$ eine endlichdimensionale ${}K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass ${}M$ ein Körper ist. Es sei dazu ${}g\in M$ ein von ${}0$ verschiedenes Element. Damit ist auch ${}K[g]\subseteq M=K[f]$, sodass ${}K[g]$ wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Fakt, das Element ${}g$ algebraisch über ${}K$ und es gibt ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(g)=0$. Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von ${}X$ heraus und schreiben ${}P=QX^{k}$, wobei der konstante Term von ${}Q$ von ${}0$ verschieden sei. Die Ersetzung von ${}X$ durch ${}g$ ergibt

${}0=P(g)=Q(g)g^{k}\,.$

Da ${}g\neq 0$ ist und sich alles im Körper ${}L$ abspielt, folgt ${}Q(g)=0$. Wir können durch den konstanten Term von ${}Q$ dividieren und erhalten die Gleichung

${}1+c_{1}g+\cdots +c_{d}g^{d}=0\,.$

Umstellen ergibt

${}g{\left(-c_{1}g^{0}-\cdots -c_{d}g^{d-1}\right)}=1\,.$

Das heißt, dass das Inverse zu ${}g$ sich als Polynom in ${}g$ schreiben lässt und daher zu ${}K[g]$ und erst recht zu ${}K[f]$ gehört.

Zur bewiesenen Aussage