Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir zeigen, dass die Teilmenge

${}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,$

gleich ${}L$ ist. Sei ${}E={\left\{x_{i}\mid i\in I\right\}}$ das Erzeugendensystem und sei ${}P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ein ${}K$-Polynom in einer endlichen Teilmenge ${}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\subseteq E$. Dann ist

${}\varphi (P(x_{1},\ldots ,x_{n}))=P(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{n}))=P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,$

da ja ${}\varphi$ ein ${}K$-Algebraautomorphismus ist, und somit ist ${}P\in M$. Das bedeutet, dass die von ${}E$ über ${}K$ erzeugte Algebra zu ${}M$ gehört. Da ${}L$ der von ${}E$ erzeugte Körper ist, gibt es für ${}x\in L$, ${}x\neq 0$, eine Darstellung ${}x=y/z$ mit ${}y,z\in M$. Daher ist wegen

${}\varphi (x)=\varphi (y)/\varphi (z)=y/z=x\,$

auch ${}x\in M$.

Zur bewiesenen Aussage