Beweis
Wir zeigen, dass die Teilmenge
-
![{\displaystyle {}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec0c5d8a1722f8a4efcca69fe29084b303165ec)
gleich
ist. Sei
das Erzeugendensystem und sei
ein
-Polynom in einer endlichen Teilmenge
.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}\varphi (P(x_{1},\ldots ,x_{n}))=P(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{n}))=P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e32f268c2fb121b9c0716c92cc8754fab134eaf)
da ja
ein
-Algebraautomorphismus ist, und somit ist
. Das bedeutet, dass die von
über
erzeugte Algebra
zu
gehört. Da
der von
erzeugte Körper ist, gibt es für
,
,
eine Darstellung
mit
. Daher ist wegen
-
![{\displaystyle {}\varphi (x)=\varphi (y)/\varphi (z)=y/z=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badba9e68502f032533663b453fb5c3a50bb6f36)
auch
.