Körpererweiterung/Inverses mittels Division mit Rest/Bemerkung

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}P\in K[X]$  ein irreduzibles Polynom und  ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$  die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu ${}z=F(x)$, ${}z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse ${}z^{-1}$ bestimmen. Es sind ${}P$ und ${}F$ teilerfremde Polynome in ${}K[X]$ und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der ${}1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn  ${}RF+SP=1$  ist, so ist die Restklasse von ${}R$, also  ${}{\overline {R}}=R(x)$,  das Inverse zu  ${}{\overline {F}}=z$.