Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}F=P_{1}\cdots P_{r}$  die Zerlegung in Primpolynome in ${}K[X]$, und sei ${}P_{1}$ nicht linear. Dann ist

$K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$

eine Körpererweiterung von ${}K$ nach Fakt. Wegen  ${}P_{1}(Y)=0$  in ${}K'$ ist die Restklasse ${}y$ von ${}Y$ in ${}K'$ eine Nullstelle von ${}P_{1}$. Daher gilt nach Fakt in ${}K'[X]$ die Faktorisierung  ${}P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$,  wobei ${}{\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als ${}P_{1}$ hat. Das Polynom ${}F$ hat also über ${}K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über ${}K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen  ${}K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$,  die stationär wird, sobald ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Zur bewiesenen Aussage