Körpererweiterung/Q(sqrt(3),i)/Basis und Graduierung/Aufgabe/Lösung

a) Die Körpererweiterung kann man als

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=M\subseteq M[{\mathrm {i} }]=L\,$

schreiben. Da ${}{\sqrt {3}}$ irrational ist, hat die erste Körpererweiterung den Grad ${}2$ und wegen ${}M\subseteq \mathbb {R}$ ist ${}{\mathrm {i} }\notin M$, sodass auch die hintere Körpererweiterung den Grad ${}2$ besitzt. Nach der Gradformel liegt insgesamt der Grad ${}4$ vor.

b) Eine ${}\mathbb {Q}$-Basis ist

$1,{\sqrt {3}},{\mathrm {i} },{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }.$

Wegen ${}{\sqrt {3}}^{2},{\mathrm {i} }^{2}\in \mathbb {Q}$ ist dies offensichtlich ein Erzeugendensystem, und da es sich um ${}4$ Elemente handelt und der Grad ${}4$ ist, muss es eine Basis sein.

c) Mit der Basis aus Teil (b) können wir

$L=\mathbb {Q} \cdot 1\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$

schreiben. Es sei ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Die Festlegungen ${}L_{(0,0)}=\mathbb {Q} \cdot 1$, ${}L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}$, ${}L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\mathrm {i} }$ und ${}L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ liefern eine durch ${}D$ indizierte Summenzerlegung von ${}L$. Die Eigenschaft ${}L_{d}\cdot L_{e}\subseteq L_{d+e}$ folgt unmittelbar aus Eigenschaften der gewählten Basiselemente.

d) Da eine graduierte Körpererweiterung vorliegt, liefern die Charaktere die vier Automorphismen ${}\operatorname {Id}$,

$a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a-b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }-d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },$

$a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a+b{\sqrt {3}}-c{\mathrm {i} }-d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$

und

$a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a-b{\sqrt {3}}-c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }.$

Mehr Automorphismen kann es aufgrund von Fakt nicht geben.

e) Wir berechnen

${}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{2}=2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\,,$

${}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{3}=(2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })=2{\sqrt {3}}+2{\mathrm {i} }+6{\mathrm {i} }-2{\sqrt {3}}=8{\mathrm {i} }\,$

und

${}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{4}=(2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })^{2}=4-12+8{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }=-8+8{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\,.$

Daraus folgt einerseits, dass ${}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$ ein erzeugendes Element der Körpererweiterung sein muss und dass das Minimalpolynom den Grad ${}4$ hat. Andererseits sieht man aus diesen Rechnungen direkt

${}({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{4}-4({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{2}=-16\,$

und somit ist

$X^{4}-4X^{2}+16$

das Minimalpolynom von ${}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$.

Zur gelösten Aufgabe