Körpererweiterung/Q(sqrt(3),i)/Basis und Graduierung/Aufgabe/Lösung

a) Die Körpererweiterung kann man als

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{3}]=M\subseteq M[\mathrm{i}]=L$

schreiben. Da $\sqrt{3}$ irrational ist, hat die erste Körpererweiterung den Grad $2$ und wegen $M\subseteq ℝ$ ist $\mathrm{i}\notin M$, sodass auch die hintere Körpererweiterung den Grad $2$ besitzt. Nach der Gradformel liegt insgesamt der Grad $4$ vor.

b) Eine $\mathbb{Q}$-Basis ist

$1,\sqrt{3},\mathrm{i},\sqrt{3}\mathrm{i}.$

Wegen ${\sqrt{3}}^2,{\mathrm{i}}^2\in \mathbb{Q}$ ist dies offensichtlich ein Erzeugendensystem, und da es sich um $4$ Elemente handelt und der Grad $4$ ist, muss es eine Basis sein.

c) Mit der Basis aus Teil (b) können wir

$L=\mathbb{Q}\cdot 1\oplus \mathbb{Q}\cdot \sqrt{3}\oplus \mathbb{Q}\cdot \mathrm{i}\oplus \mathbb{Q}\cdot \sqrt{3}\mathrm{i}$

schreiben. Es sei $D=\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$. Die Festlegungen $L_{(0,0)}=\mathbb{Q}\cdot 1$, $L_{(1,0)}=\mathbb{Q}\cdot \sqrt{3}$, $L_{(0,1)}=\mathbb{Q}\cdot \mathrm{i}$ und $L_{(1,1)}=\mathbb{Q}\cdot \sqrt{3}\mathrm{i}$ liefern eine durch $D$ indizierte Summenzerlegung von $L$. Die Eigenschaft $L_d\cdot L_e\subseteq L_{d+e}$ folgt unmittelbar aus Eigenschaften der gewählten Basiselemente.

d) Da eine graduierte Körpererweiterung vorliegt, liefern die Charaktere die vier Automorphismen $\mathrm{Id}$,

$a+b\sqrt{3}+c\mathrm{i}+d\sqrt{3}\mathrm{i}⟼a-b\sqrt{3}+c\mathrm{i}-d\sqrt{3}\mathrm{i},$

$a+b\sqrt{3}+c\mathrm{i}+d\sqrt{3}\mathrm{i}⟼a+b\sqrt{3}-c\mathrm{i}-d\sqrt{3}\mathrm{i}$

und

$a+b\sqrt{3}+c\mathrm{i}+d\sqrt{3}\mathrm{i}⟼a-b\sqrt{3}-c\mathrm{i}+d\sqrt{3}\mathrm{i}.$

Mehr Automorphismen kann es aufgrund von Fakt nicht geben.

e) Wir berechnen

$(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^2=2+2\sqrt{3}\mathrm{i},$

$(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^3=(2+2\sqrt{3}\mathrm{i})(\sqrt{3}+\mathrm{i})=2\sqrt{3}+2\mathrm{i}+6\mathrm{i}-2\sqrt{3}=8\mathrm{i}$

und

$(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^4=(2+2\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2=4-12+8\sqrt{3}\mathrm{i}=-8+8\sqrt{3}\mathrm{i}.$

Daraus folgt einerseits, dass $\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ein erzeugendes Element der Körpererweiterung sein muss und dass das Minimalpolynom den Grad $4$ hat. Andererseits sieht man aus diesen Rechnungen direkt

$(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^4-4(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^2=-16$

und somit ist

$X^4-4X^2+16$

das Minimalpolynom von $\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

Zur gelösten Aufgabe