Körpererweiterung/Q(sqrt(3),i)/Basis und Graduierung/Aufgabe/Lösung

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a) Die Körpererweiterung kann man als

schreiben. Da irrational ist, hat die erste Körpererweiterung den Grad und wegen ist , so dass auch die hintere Körpererweiterung den Grad besitzt. Nach der Gradformel liegt insgesamt der Grad vor.

b) Eine -Basis ist

Wegen ist dies offensichtlich ein Erzeugendensystem, und da es sich um Elemente handelt und der Grad ist, muss es eine Basis sein.

c) Mit der Basis aus Teil (b) können wir

schreiben. Sei . Die Festlegungen , , und liefern eine durch indizierte Summenzerlegung von . Die Eigenschaft folgt unmittelbar aus Eigenschaften der gewählten Basiselemente.

d) Da eine graduierte Körpererweiterung vorliegt, liefern die Charaktere die vier Automorphismen ,

und

Mehr Automorphismen kann es aufgrund von Fakt nicht geben.

e) Wir berechnen

und

Daraus folgt einerseits, dass ein erzeugendes Element der Körpererweiterung sein muss und dass das Minimalpolynom den Grad hat. Andererseits sieht man aus diesen Rechnungen direkt

und somit ist

das Minimalpolynom von .
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