Körpererweiterung/Q/3. Wurzel aus 7/3. Einheitswurzel/Normalität/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},\eta ]=:L\,,$

wobei

${}\eta ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

die dritte primitive Einheitswurzel ist und wobei wir mit ${}{\sqrt[{3}]{7}}$ die reelle Zahl meinen. Dies ist eine Erweiterung vom Grad ${}6$, wie die Kette

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}]=:M\subseteq L\,$

zeigt. Die Erweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ ist nicht normal, da die beiden anderen dritten Wurzeln der ${}7$, nämlich ${}{\sqrt[{3}]{7}}\eta$ und ${}{\sqrt[{3}]{7}}\eta ^{2}$, nicht zu ${}M$ gehören, weil sie nicht reell sind. Sie gehören aber zu ${}L$ und da mit ${}{\sqrt {-3}}$ auch ${}-{\sqrt {-3}}$ zu ${}L$ gehört ist nach Fakt  (3) die Gesamterweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ normal. Nach Fakt muss es ${}\mathbb {Q}$-Automorphismen ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit ${}\varphi (M)\neq M$ geben. In der Tat gibt es einen Automorphismus ${}\varphi$ auf ${}L$, der ${}\eta$ auf sich selbst und ${}{\sqrt[{3}]{7}}$ auf ${}{\sqrt[{3}]{7}}\eta$ abbildet. Dabei ist

${}M'=\varphi (M)=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}\eta ]\neq M\,.$