Wir betrachten die
Körpererweiterung
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![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},\eta ]=:L\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d2910470f83602ce5beee27c7a55e87be6dac3)
wobei
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die dritte
primitive Einheitswurzel
ist und wobei wir mit ![{\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01db68b986895c54737cdef7751df2754e451987)
die reelle Zahl meinen. Dies ist eine Erweiterung vom Grad 
, wie die Kette
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![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}]=:M\subseteq L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230d9c291c59561d4e5fe8d05ccaae4e48dbf9dc)
zeigt. Die Erweiterung
ist nicht
normal,
da die beiden anderen dritten Wurzeln der 
, nämlich
![{\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7175659b7c8a96d618172376680dbff091aa036c)
und ![{\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}\eta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c204a4f924db03c95f645520c9a11482e38b1c)
,
nicht zu 
gehören, weil sie nicht reell sind. Sie gehören aber zu 
und da mit 
auch 
zu gehört ist nach
Fakt (3)
die Gesamterweiterung
normal. Nach
Fakt
muss es
-Automorphismen
mit
geben. In der Tat gibt es einen Automorphismus 
auf , der 
auf sich selbst und auf abbildet. Dabei ist
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![{\displaystyle {}M'=\varphi (M)=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}\eta ]\neq M\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cd0e8e104de40fd9ab0b6a5f2755e2dc469329)
