Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom  $P\in K[X]$  eine Nullstelle in $L$ besitzt, so zerfällt es in $L[X]$.
3. Es gibt ein $K$-Algebraerzeugendensystem $x_i\in L$, $i\in I$, von $L$ und über $L$ zerfallende Polynome $F_i\in K[X]$, $F_i\ne 0$ , $i\in I$, mit  $F_i(x_i)=0$. 
4. Für jede Körpererweiterung  $L\subseteq M$  und jeden $K$-Algebrahomomorphismus

   $\phi :L⟶M$

   ist  $\phi (L)\subseteq L$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen