Körpererweiterung/Restklassendarstellung/Multiplikationsabbildung/Matrix/Beispiel

Es sei ${}F=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom über einem Körper ${}K$ und

${}K\subseteq K[X]/{\left(X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}=:L\,$

die zugehörige endliche Körpererweiterung. Nach Fakt bilden die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet) eine ${}K$-Basis von ${}L$. Zu einem ${}g\in L$ wird die Multiplikationsabbildung

$\mu _{g}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto gy,$

bezüglich der gegebenen Basis durch die ${}(n\times n)$-Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten ${}g\cdot x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen ${}x^{0}=1$ stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von ${}g$ selbst. Zu ${}x$ ist diese Matrix gleich

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&-a_{0}\\1&0&\ldots &0&-a_{1}\\0&1&\ldots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

${}g=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,$

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an

${\begin{pmatrix}b_{0}&-a_{0}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{1}&b_{0}-a_{1}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{2}&b_{1}-a_{2}b_{n-1}&\ldots &*&*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{n-1}&b_{n-2}-a_{n-1}b_{n-1}&\ldots &*&*\end{pmatrix}}.$