Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom vom Grad und der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von in mit ).

  1. Man kann stets als normiert annehmen (also ; das werden wir im Folgenden tun).
  2. In ist .
  3. Höhere Potenzen , , kann man mit den Potenzen , , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
  4. Die Potenzen bilden eine -Basis von .
  5. ist ein -Vektorraum der Dimension .
  6. In werden zwei Elemente und komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen