Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\in K[X]$  ein Polynom vom Grad $n$ und  $R=K[X]/(P)$  der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$).

1. Man kann stets $P$ als normiert annehmen (also $a_n=1$; das werden wir im Folgenden tun).
2. In $R$ ist  $x^n=-\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$. 
3. Höhere Potenzen $x^k$, $k\ge n$, kann man mit den Potenzen $x^i$, $i\le n-1$, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
4. Die Potenzen $x^0=1,x^1$ $,\dots ,x^{n-1}$ bilden eine $K$-Basis von $R$.
5. $R$ ist ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$.
6. In $R$ werden zwei Elemente $P=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ und $Q=\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i{x}^i$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

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