Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabenbezug/Beispiel

Das Polynom ${}X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Es gilt also

${}\alpha ^{3}-3\alpha +1=0\,.$

Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über ${}L$. Der Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{3}-3X+1$ ist also ${}L$. Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr

$\alpha =1,532,\,\,\beta =0,347,\,\,\gamma =-1,879,\,\,.$