K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Hinrichtung ergibt sich aus Fakt. Für die Rückrichtung nehmen wir

$\mathrm{\Gamma }⊬\alpha$

an. Dann ist

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }=\mathrm{\Gamma }\cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$

(aussagenlogisch) nicht widersprüchlich und wir müssen zeigen, dass ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ durch ein $\mathrm{\Gamma }$-modallogisches Modell erfüllbar ist. Wir betrachten dazu das $\mathrm{\Gamma }$-universelle modallogische Modell $(U_{\mathrm{\Gamma }},R,\nu )$, in dem $\mathrm{\Gamma }$ (in jedem Weltpunkt) gilt. Nach Fakt gibt es eine maximal widerspruchsfreie ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$-Ausdrucksmenge $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$, die wir als Welt  $W=\tilde{\mathrm{\Gamma }}$  in $U_{\mathrm{\Gamma }}$ betrachten können. Nach Fakt

gilt $W\models \tilde{\mathrm{\Gamma }}$, was insbesondere die Gültigkeit von $\mathrm{\Gamma }\cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ in $W$ zeigt.

Zur gelösten Aufgabe