K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer aIgebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ und sei  ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  das ${}K$-Spektrum von ${}R$. Es sei  ${}U\subseteq V$  eine Zariski-offene Menge,  ${}P\in U$  ein Punkt und es sei ${}f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen

${\frac {G_{1}}{H_{1}}}{\text{ und }}{\frac {G_{2}}{H_{2}}}$

gebe mit  ${}G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in R$  und mit  ${}P\in D(H_{1}),D(H_{2})\subseteq U$. 

Dann gibt es ein  ${}r\in \mathbb {N}$  mit

$H_{1}^{r}H_{2}^{r}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})^{r}=0{\text{ in }}R.$

Ist ${}R$ reduziert, so gilt sogar

${}H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})=0\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen